\[ \sum _{n \in \mathbb{Z}} \frac {1}{\tau + n } = \pi \cot ( \pi \tau ) \]
물론 \(\tau\)는 정수가 아닌 실수입니다. 즉 존재성이 보장된다면 위 식이 성립합니다.
\[ \sum _{n \in \mathbb{Z} } \frac {1}{\tau + n} = \frac{d}{d\tau} \int \sum _{n \in \mathbb{Z}} \frac {1}{\tau + n} d \tau = \frac {d}{d\tau} \sum _{n \in \mathbb{Z} } \int \frac {d\tau}{\tau + n} = \frac {d}{d\tau} \log \tau + \sum _{n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} } \log (\tau + n ) - \log n \]
이렇게 적분을 하면 좋은 점은 시그마 안쪽을 로그로 바꿔버린다는 것에 있습니다. -log n은 적분할 때 상수로 더할 수 있는데, 이것을 하지 않으면 무한곱이 발산해서 문제가 생깁니다. n=0일 때는 로그가 존재하지 않기 때문에 따로 빼줍니다. 이 과정들은 나중에 사용할 사인의 곱전개와도 관련이 있습니다.
\[ \cdots = \frac {d}{d\tau} \log \tau \left( \prod _{n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} } \left( \frac {\tau}{n} + 1 \right) \right) = \frac {d}{d\tau} \log \tau \left( \prod _{n \in \mathbb{N}} \left( 1 - \frac {\tau ^2}{n^2} \right) \right) \]
\[ \frac {\sin \pi x } { \pi x} = \prod _{n \in \mathbb{N}} \left(1- \frac {x^2}{n^2} \right) \]
sine의 곱전개식을 그대로 적용하면 됩니다. (sine product expansion formula)
\[ \cdots = \frac {d}{d\tau} \log \tau \left( \frac {\sin \pi \tau }{\pi \tau} \right) = \frac {d}{d\tau} \log \frac {\sin \pi \tau}{\pi} = \frac {\pi}{\sin \pi \tau} \frac {\cos \pi \tau}{\pi} \pi =\pi \cot (\pi \tau) \]
※사실 log n을 빼는 부분에서 0에 대해서만 따로 처리하고 n이 음수일 때는 슬쩍 지나갔습니다. 찝찝하기는 한데, 결과적으로 코탄젠트는 주기가 파이인 함수이므로 0과 1 사이에 대해서만 증명해도 충분합니다. 결과적으로 증명에 문제는 없다는 것(?)이죠.