Multiplicative Function

산술함수 f에 대하여 f가 multiplicative하다는 것은 다음을 나타낸다.

\[f(mn) = f(m) f(n), \quad \mathrm{whenever \ } (m,n)=1 \]

모든 수에 대해 함수값이 0인 경우는 예외로 한다.

completely multiplicative는 (m,n)=1이라는 조건을 무시해도 성립할 때를 말한다.

이런 성질을 생각하면 좋은 이유는 산술의 기본정리에 의해 어떤 자연수에 대해 standard prime factorization이 유일하게 존재하는데, multiplicative를 이용하면 더 작은 단위의 곱으로 나타낼 수 있기 때문이다. 거기에 completely multiplicative면 그것보다도 더 작게 쪼개서 생각할 수 있다.

theorem. f가 multiplicative function일 때 \(F(n) = \sum _{d|n} f(d) \)도 multiplicative function이다.

\[F(m)F(n)=F(mn) \quad \mathrm{whenever } (m,n)=1 \]

위 식을 보이면 된다.

\[ F(m)F(n) = \sum _{d_1 | m} f(d_1) \sum _{d_2 |n} f(d_2) \]

여기서 이런 보조정리를 생각해줄 수 있다.

\[ \mathrm{ if \ }(m,n)=1 \; m,n \in \mathbb{N}, \quad \forall d|mn, \quad \exists ! d_1,d_2\quad \mathrm{such that} \quad d_1|m, \; d_2|n , \; d=d_1d_2\]

주어진 식들만으로 접근하기는 어려워보이기 때문에

\[ m = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2} \cdots p_s ^{a_s} , \quad n = q_1 ^{b_1} q_2 ^{b_2} \cdots q_t ^{b_t} \]

를 standard factorization form으로 놓았을 때 (m,n)=1이므로 모든 m의 소인수와 n의 소인수가 다르다. 따라서 mn의 standard factorization form은

\[ mn = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2} \cdots p_s ^{a_s} q_1 ^{b_1} q_2 ^{b_2} \cdots q_t ^{b_t} \]

그렇다면 mn의 약수 d도 저 소인수들의 곱으로 나타난다. \(d_1 | m , \; d_2 | n \)이므로 \(d_1\)은 m의 소인수들로 이루어지고 \(d_2\)는 n의 소인수들로 이루어지는데 \(d_1 d_2 = d\)이므로 \(d_1 , \; d_2\)는 유일하게 존재한다.

보조정리에 의해 \(d_1 ,d_2\)의 곱과 mn의 약수 \(d\)는 일대일대응되므로

\[ F(m)F(n) = \sum _{d_1 | m} f(d_1) \sum _{d_2 |n} f(d_2) = \sum _{d_1 d_2 |mn } f(d_1) f(d_2) = \sum _{d|mn} f( d) = F(mn)  \]