Extreme Value Theorem
구간 [a,b]에서 연속인 함수 f에 대해
\[ \exists c,d \in [a,b] \quad \mathrm{s.t.} \quad \forall x \in [a,b], \quad f(c) \le f(x) \le f(d) \]
먼저 f는 [a,b]에서 bounded임을 보일 것이다. 집합 \(S = \{ x | f \; \mathrm{is \ bounded \ on} \; [a,x] \} \)를 잡았을 때, \(a \in S\), \(S \in \mathbb{R}\)이고 upper bound가 있으므로 완비성 공리에 의해 \(c = \sup S \)가 존재한다.
\[ \mathrm{Claim. \; c=b} \]
c=a일 때를 보자. f는 a에서 연속이므로
\[ \mathrm{take} \quad \epsilon = 1, \quad \exists \delta >0 \quad \mathrm{s.t.} \quad |x-c|<\delta \quad \mathrm{implies} \quad |f(x)-f(c)|<1 \]
\[ \forall x \in [a,a+\delta) \quad \mathrm{implies} \quad f(a) - 1 < f(x) < f(a) + \epsilon \]
따라서 \(a+ \frac {1}{2} \delta \in S \)이므로 c가 \(\sup S\)라는 데에 모순이다.
a<c<b일 때를 보자. f는 c에서 연속이므로
\[ \mathrm{take} \quad \epsilon = 1, \; \exists \delta >0 \quad \mathrm{such \ that} \quad |x-c|<\delta \quad \mathrm{implies} \quad |f(x)-f(c)|<\1 \]
\(c+ \frac {1}{2} \delta \)를 생각하면 일단 f는 연속성에 의해 \((c - \delta , c + \frac {1}{2} \delta ] \)에서 bounded이다.
\((c-\delta, c]\)에 \(d \in S\)인 d가 존재한다. 만약 존재하지 않는다면 \(c-\delta <c\)인데 c가 upper bound라면 \(c-\delta\)도 upper bound가 되므로 \(c=\sup S\)에 모순이다.
\[ \exists d \in (c-\delta ,c] \quad \mathrm{such \ that} \quad d \in S \]
[a,d]가 bounded이고, \((c-\delta ,c+ \frac {1}{2} \delta ] \)도 bounded 이므로 \([a, c + \frac {1}{2}\delta ]\)가 bounded이다. \(c + \frac {1}{2}\delta \in S \) 이므로 가정에 모순이다.
따라서 c=b, f는 [a,b]에서 bounded이다.
T를 f([a,b])로 놓았을 때 f는 bounded이므로 T의 sup, inf가 존재한다. 그것을 각각 M,N으로 놓았을 때 [a,b]에 f(v)=M이되는 v가 존재함을 보이면 된다. N에 대해서도 비슷하게 접근한다.
\[ \mathrm{Assume} \quad \forall x \in [a,b], \quad f(x)<M\]
\(0<M-f(x)\)이므로 새로운 함수 \(g(x) = \frac {1}{M-f(x)}\)를 생각했을 때 [a,b]에서 연속이다.
방금 증명한 것을 적용하여 g도 [a,b]에서 bounded하므로
\[ \exists P>0 \quad \mathrm{such \ that} \quad \frac {1}{M-f(x)} <P \quad \forall x \in [a,b] \]
그런데 식을 변형하면 모든 [a,b] 내의 x에 대해 \(f(x) < M - \frac {1}{P}\)이므로 \(M= \sup T\)에 모순이다.
따라서 가정이 거짓이다. 최소값에 대해서도 같은 방식으로 하자.
\[ \mathrm{Assume} \quad \forall x \in [a,b], \quad f(x)>N\]
\[h(x) : = \frac {1}{f(x)-N} >0, \quad \mathrm{continuous \ on} \; [a,b]\]
\[ \mathrm{by \ previous \ lemma, \ } h \mathrm{ \ is \ bounded \ on \ } [a,b] \]
\[ \exists Q>0 \quad \mathrm{such \ that} \quad \frac {1}{f(x)-N} < Q \quad \forall x \in [a,b] \]
\[ \forall x \in [a,b], \quad f(x)>N+ \frac {1}{Q}, \quad \rightarrow \leftarrow \]
따라서 최대값과 최소값이 [a,b]에 존재한다.