Mean Value Theorem
극한을 직접 계산하지 않고도 구간 안에 어떤 미분값이 존재함을 알려주는 멋진 정리이다.
f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능할 때
\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ that} \quad f'(c) = \frac {f(a)-f(b)}{a-b} \]
이 정리에서 f(a)=f(b)일 때가 롤의 정리이고, 반대로 롤의 정리에서 이 정리가 쉽게 유도된다.
\[ g(x) = f(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)\]
를 생각해보면 g(a)=g(b), g는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능하므로 롤의 정리를 적용하여
\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ that} \quad g'(c) = 0 \]
\[ g'(x) = f'(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a} \]
\[ \therefore f'(c) = \frac {f(b)-f(a)}{b-a} \]
Exercise. f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능할 때
\[ \forall x \in [a,b], \; f'(x) = 0 \quad \mathrm{implies} \; f \; \mathrm{is \; constant} \]
어떤 구간 안에서 미분값이 0이면 그 함수는 상수함수라는 것이다. 대충 그럴 것 같다는 심증은 있다. 어떤 미소구간을 잡아도 함수값의 변화량이 0이라면 x축에 평행한 직선, 상수이기 때문이다.
평균값 정리에 의해 \(\exists c \in (x_1 ,x_2 ), \; f'(c) = \frac {f(x_1) -f(x_2)}{x_1 -x_2} \not= 0 \)
모순이므로 그런 \(x_1,x_2\)는 존재하지 않고, 따라서 f는 [a,b]에서 constant이다.