정수 계수 소수 생성 다항식

\[ f(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + \cdots + a_1 n + a_0  \qquad a_k , a_{k-1} , \cdots , a_0 \in \mathbb{Z} \]

0 이상의 정수 \(n\)에 대해 \(f(n)\)이 소수인 함수는 존재하지 않는다.

proof.

0 이상의 정수 \(n\)에 대해 \(f(n)\)이 소수인 \(f\)가 존재한다고 하자.

이때 \(f(n_0) \)가 소수 \(p\)가 되는 \(n_0\)를 하나 잡자.

\[ \begin{align} f(n_0 + tp ) & = a_k (n_0 + tp)^k + a_{k-1} (n_0 + tp )^{k-1} + \cdots + a_1 (n_0 + tp) + a_0 \\  & = (a_k n_0 ^k + a_{k-1} n_0 ^{k-1} + \cdots + a_1 n_0 + a_0 ) + pQ(t) \\ & = p(1+Q(t)) \end{align} \]

\(Q(t)\)는 \(t\)에 대한 정수계수 다항식이다. 가정에 의해 \(f(n_0 + tp ) \)는 소수이므로 모든 자연수 \(t\)에 대해 \(Q(t) = 0 \) 이다. 그런데 \(Q(t)\) 는 \(k\)차식으로 모든 자연수를 해로 가질 수 없다. 즉, 모순이다. 따라서 이 명제는 참이다.