오일러의 오각수 정리

\[ \sum _{n=-\infty} ^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = \sum _{n=-\infty} ^\infty (-1)^n q^{n(3n+1)/2} = (q;q)_\infty \]

첫번째 식에 \(n\) 대신 \(-n\)을 넣었을 때 두번째 식이 되고, 결과적으로 의미가 있는 것은 세번째 식이라고 할 수 있겠다.

---

Ramanujan's notation 중 하나를 생각한다. 이 글에서 음의 무한부터 양의 무한까지의 급수는 간단하게 \(\sum\)으로 나타낸다.

left hand side ::

\[ f(-q) = f(-q;-q^2 ) = \sum (-q)^{n(n+1)/2} (-q^2 )^{n(n-1)/2 } = \sum (-1)^n q^{n(3n-1)/2} \]

right hand side:: Jacobi triple product identity에 의해

\[ f(-q;-q^2 ) = (q;q^3 )_\infty (q^2;q^3)_\infty (q^3;q^3)_\infty  = (q;q)_\infty \]

LHS=RHS로 쉽게 참임을 알 수 있다.