Liouville's Theorem
Theorem. \(f\)가 entire, bounded 이면 \(f\)는 constant이다.
Remark.
entire : \(\mathbb{C}\) 전체에서 holomorphic함
bounded : disc으로 덮을 수 있다, 즉 모든 \(z\)에 대해 \(|f(z)|<M \)인 \(M \in \mathbb{R} \)이 존재한다.
region : connected open set in \(\mathbb{C}\)
Lemma. \(f\)가 region \(\Omega\)에서 holomorphic하고 \(f' =0\)이면 \(f\)는 constant이다.
proof.
\(w_0 \in \Omega\)를 고정시킨다. 모든 \(w \in \Omega \)에 대하여 \(f(w) = f(w_0 ) \)임을 보이면 된다.
\(\Omega\)는 connected이므로 모든 \(w \in \Omega\)에 대해 \(w_0\)로 시작하여 \(w\)로 끝나는 curve \(\gamma \) 가 존재한다.
\[ \int _\gamma f'(z) dz = f(w) - f(w_0 ) \]
\(f' =0 \)이므로 좌변은 0이 되고, lemma는 증명되었다.
Proof.
lemma에 의해 \(f' =0\)을 보이면 충분하다.
모든 \(R>0 , \; z_0 \in \mathbb{C}\)에 대해 Cauchy inequalities를 적용하면
\[ |f'(z_0 ) | < \frac {B}{R} \]
(\(B\)는 \(f\)의 bound), \(R \rightarrow \infty \)를 취하면 원하던 결과가 쉽게 도출된다.
이 theorem으로 간단하게 대수학의 기본 정리를 증명할 수 있다.
Corollary. 모든 복소수 계수의 non-constant 다항식 \(P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0 \)는 \(\mathbb{C}\) 안에 근을 가진다.
proof.
Liouville's theorem에 의해 만약 \(P\)가 근이 없다면, \(1/P(z)\)가 bounded holomorphic function이라는 것을 보이면 된다. \(1/P(z)\)가 entire, bounded가 되면 constant가 되고, 조건에 모순이 생기기 때문이다.
이 claim을 증명할 때 \(a_n \not= 0 \)으로 놓고 다음 식을 생각해보자
\[ \frac {P(z)}{z^n} = a_n + \left( \frac {a_{n-1}}{z} + \frac {a_{n-2}}{z^2} + \cdots + \frac {a_0}{z^n} \right) \]
\(|z| \rightarrow \infty\)일 때 \(\frac {P(z)}{z^n} \rightarrow a_n\)이 되므로 \(|z|>R\)일 때 \(|P(z)| \ge \frac {a_n}{2} |z|^n\)이 성립하는 \(R\)이 존재한다.
따라서 \(|P|\)는 \(|z|>R\)일 때 0보다 큰 하한이 존재한다. \(|z| \le R \)일 때는 근이 존재하지 않고 continuous하므로 또한 하한이 존재한다. 모든 경우에 대해 \(|P|\)는 0보다 큰 하한이 존재하므로 \(1/P(z)\)는 bounded holomorphic function이다. 따라서 claim은 증명되었고, 명제는 참이다.
이 Corollary를 귀납적으로 접근해서 n차의 복소수로 표현된 다항식은 n개의 근을 가진다는 일반적으로 알려진 사실을 증명할 수 있다. 또, 만약 이 근들을 \(w_1, w_2, \cdots , w_n\)으로 놓았을 때 다항식은 다음과 같이 표현된다.
\[ P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0 = a_n (z-w_1 )(z-w_2)\cdots(z-w_n) \]
방금 증명한 것에 의해 \(P(z)\)의 근 \(w_1\)이 존재한다. \(z = (z-w_1 )+w_1 \)으로 표현하여 \(P\)에 대입했을 때 다음과 같은 결과가 나온다.
\[ P(z) = b_n (z-w_1 )^n + b_{n-1} (z-w_1)^{n-1} + \cdots + b_0 \]
\(P(w_1)=0\)이므로 \(b_0 = 0\)이다.
\[ P(z) = (z-w_1) [b_n (z-w_1)^{n-1} + b_{n-1} (z-w_1)^{n-2} + \cdots + b_1 = (z-w_1) Q(z) ] \]
\(Q\)는 \(n-1\)차식이다. 여기서도 똑같이 적용하여 귀납법에 의해 \(n\)개의 근을 가지는 것이 확인되고
\[ P(z) = c(z-w_1)(z-w_2) \cdots (z-w_n) \]
으로 표현된다. 그리고 우변을 전개했을 때 \(c=a_n\)임을 쉽게 볼 수 있다.