power series와 holomorphic

\(f\)는 open set \(\Omega\)에서 holomorphic하다. \(D\)는 \(z_0\)를 중심으로 하는 closure가 \(\Omega\) 내에 있는 disc일 때, \(f\)는 \(z_0\)에서 power series expansion을 가지고 모든 \(z \in D\)에 대해 계수는 다음과 같다.

\[ f(z) = \sum _{n=0} ^\infty a_n (z - z_0 )^n , \quad a_n = \frac {f^{(n)}(z_0)}{n!} \; \forall n\ge 0 \]

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증명.

\(z \in D\)를 고정하자. Cauchy integral formula에 의해

\[ f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta -z} d \zeta \]

\(C\)는 disc의 boundary를 뜻한다.

이 식과 power series를 연결짓는 부분이 geometric series expansion이다.

\[ \frac {1}{\zeta -z} = \frac {1}{\zeta -z_0 - (z-z_0 )} = \frac {1}{\zeta -z_0 } \frac {1}{1 - \frac {z-z_0} {\zeta- z_0}} \]

\(\zeta \in C,\quad z \in D \)이므로 \(0<r<1\)인 다음과 같은 \(r\)이 존재한다.

\[ \left| \frac{z-z_0}{\zeta -z_0 } \right| <r \]

\[ \therefore \frac {1}{1 - \frac {z - z_0}{\zeta -z_0}} = \sum _{n=0} ^\infty \left( \frac {z-z_0}{\zeta -z_0} \right)^n \]

이 결과를 원래의 식에 대입해서 정리를 해주자.

\[ f(z) = \frac {1}{2\pi i } \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta -z} d \zeta = \frac {1}{2\pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta -z_0} \sum _{n=0} ^\infty \left( \frac {z-z_0}{\zeta -z_0} \right)^n d \zeta \\= \sum _{n=0} ^\infty \frac {1}{2\pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{(\zeta -z_0)^n } d \zeta (z-z_0)^n \]

\[ a_n = \frac {1}{2 \pi i } \int _C \frac {f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}} d \zeta = \frac {f^{(n)}}{n!} \]