Cauchy Inequalities

\(f\)가 중심이 \(z_0\)이고 반지름이 \(R\)인 open disc \(D\)를 포함하는 open set에서 holomorphic할 때, 다음이 성립한다. \(C\)는 \(D\)의 boundary circle이다.

\[ |f^{(n)} (z_0 ) | \le \frac {n! ||f||_C }{R^n }, \quad ||f||_C := \sup _{z \in C} |f(z)| \]

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증명.

Cauchy's integral formula를 사용하면

\[ |f^{(n)} (z_0) | = \frac {n!}{2 \pi} \left| \frac {1}{i} \int _C \frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_0)^{n+1}} d \zeta \right| = \frac {n!}{2 \pi } \left | \frac {1}{i} \int _0 ^{2 \pi } \frac {f(Re^{i \theta}+z_0)}{(Re^{i \theta})^{n+1}} i Re^{i \theta} d \theta \right|\\ = \frac {n!}{2\pi} \left| \int _0 ^{2 \pi} \frac {f(z_0 + Re^{i \theta} ) } {(Re^{i\theta})^n} d \theta \right| \le \frac {n!}{2 \pi} 2 \pi \cdot \sup _{z \in C} \left| \frac {f(z)}{Re^{i \theta} } \right| = \frac {n!}{R^n} ||f||_C \]