Cauchy Integral Formula

disc \(D\)의 closure을 포함하는 open set \(\Omega \in \mathbb{C}\)에 대해 함수 \(f\)는 holomorphic하다. \(C\)는 양의 orientation을 가지는 \(D\)의 boundary circle을 뜻할 때, 모든 점 \(z \in D\)에 대하여 다음이 성립한다.

\[ f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta - z } d\zeta \]

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Reference : Princeton Lectures in Analysis

\(z\)를 고정시켰을 때 위 그림과 같은 keyhole \(\Gamma _{\delta, \epsilon }\)을 고려한다. \(\delta\)는 구멍에 연결된 통로의 폭, \(\epsilon\)은 \(z\)를 중심으로 하는 작은 원의 반지름이다. \(F(\zeta) = f(\zeta) / (\zeta - z) \) 는 \(\Gamma _{\delta, \epsilon }\)에서 holomorphic하므로 toy contour에 대해 적용되는 Cauchy's theorem에 의해

\[ \int _{\Gamma_{\delta,\epsilon}} F(\zeta) d \zeta = 0 \]

\(\delta\)를 0에 가깝게 설정하면 \(F\)의 연속성에 의해 큰 원 \(C\)와 작은 원 \(C_\epsilon \)을 남기고 방향이 다른 두 통로의 적분이 상쇄된다. 먼저 작은 원에서의 적분을 보면

\[ \int _{C_\epsilon } F(\zeta) d \zeta = \int _{C_\epsilon} \frac {f(\zeta) - f(z)}{\zeta -z} + \frac {f(z)}{\zeta -z} d \zeta \]

\(f\)는 holomorphic하므로 bounded이다. \(\epsilon \rightarrow 0 \)일 때 \(\int _{C_\epsilon} \dfrac {f(\zeta )-f(z)} {\zeta - z} d \zeta \)도 0으로 가므로

\(\epsilon \rightarrow 0\)일 때

\[ \int _{C_\epsilon } F(\zeta) d \zeta = \int _{C_\epsilon} \frac {f(z)}{\zeta -z} d\zeta = f(z) \int _0 ^{2\pi} \frac {-i \epsilon e^{i \theta}}{\epsilon e ^{i \theta }}d \theta = -2 \pi i f(z) \]

따라서

\[ \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta -z} d \zeta -2 \pi i f(z) = 0\]

\[ f(z) = \frac {1}{2 \pi i } \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta -z} d \zeta \]

굳이 circle이 아니어도 이 정리는 성립한다. keyhole을 다른 도형에 뚫어도 비슷한 접근이 가능하기 때문.

또 Corollary로 다음이 있다.

\(f\)는 open set \(\Omega\)에서 holomorphic할 때 \(f\)는 \(\Omega\)에 무한히 많은 complex derivatives가 존재한다. \(C \subset \Omega \)가 interior도 \(\Omega\)에 속하는 원일 때, 모든 점 \(z \in C\)에 대해

\[ f^{(n)} (z) = \frac {n!}{2\pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} d \zeta \]

\(C\)도 positive orientation을 가지도록 놓자.

\(n=0\)일 때는 위에서 증명했다.

\(n-1\)일 때 성립함을 가정한다.

\[f^{(n-1)} (z) = \frac {(n-1)!}{2 \pi i } \int _C \frac {f(\zeta)}{(\zeta -z)^n } d \zeta \]

작은 \(h\)에 대해

\[ f^{(n)} (z) =\frac {f^{(n-1)} (z+h) - f^{(n-1)} (z)}{h} = \frac {(n-1)!} {2 \pi i} \int _C f(\zeta) \frac {1}{h} \left[ \frac {1}{(\zeta -z -h)^n } - \frac {1}{(\zeta -z)^n } \right] d \zeta \\ = \frac {(n-1)!}{2 \pi i } \int _C f(\zeta) \frac {n}{h} \left( \frac {1}{\zeta -z -h} - \frac {1}{\zeta -z} \right) \frac {1}{(\zeta -z)^{n-1}} = \frac {n!}{2 \pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{(\zeta -z)^{n+1}} d \zeta \]

induction에 의해 Corollary는 참이다.

앞의 명제와 뒤의 Corollary를 합쳐서 Cauchy Integral Formula라고 부른다.