q-binomial Theorem :: \(|q| , |z| < 1 \)일 때 다음이 성립한다.
\[ \sum _{n=0} ^\infty \frac {(a)_n} {(q)_n} z^n = \frac {(az)_\infty }{(z)_\infty } \]
proof.
\[ F(z) := \frac {(az)_\infty }{(z)_\infty}\]
\(|z|<1 \)의 compact subsets에 대해 \(F(n)\)은 uniformly convergent하기 때문에 \(|z|<1 \)일 때 \(F\)는 analytic function이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[ F(z) = \sum _{n=0} ^\infty A_n z^n \]
이 시점에서 증명의 방향을 \(A_n\)을 구하는 것으로 잡을 수 있다. 점화 관계를 보자.
\[ F(z) = F(qz) \times \frac {1-az}{1-z} \]
\[ (1-z)F(z)=(1-az)F(qz) \]
q-급수에 의해 간단하게 생각해낼 수 있다. \(F(z) = \sum _{n=0} ^\infty A_n z^n \)을 대입하고 \(z^n\) 항에 대해 계수비교를 했을 때를 생각하면
\[ A_n - A_{n-1} = A_n q^n - A_n-1 aq^{n-1} \]
\[ A_n = \frac {1-aq^{n-1}}{1-q^n} \]
\(A_0 = 1\)이므로 우리는 \(A_n\)을 귀납적으로 도출할 수 있다!
\[ A_n = \frac {(1-aq^{n-1})(1-aq^{n-2}) \cdots (1-a)} {(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q )} = \frac {(a)_n }{(q)_n } \]
\[ \therefore \sum _{n=0} ^\infty \frac {(a)_n }{(q)_n } z^n = \frac {(az)_\infty }{(z)_\infty}\]
이 정리의 이름에 대해서 생각해보면 q-급수 글에서 다뤘듯,
\[\lim _{q \rightarrow 1} \frac {(q^a)_n }{(1-q)^n} = a \times (a+1) \times \cdots \times (a+n-1) \]
이라는 점을 상기시킬 필요가 있다.
\[\sum _{n=0} ^\infty \frac {(a)_n }{(q)_n } z^n = \frac {(az)_\infty }{(z)_\infty}\]
q-이항정리의 우변에 \(a\) 대신 \(q^a\)를 대입하고 \(\lim _{q\rightarrow 1} \)을 취하면
\[ \sum _{n=0} ^\infty \frac {a(a+1) \cdots (a+n-1)} {n!} z^n = \lim _{q \rightarrow 1} \frac {(zq^a )_\infty}{(z)_\infty} = \lim _{q \rightarrow 1} \prod _{n=0} ^{a-1} \frac {1}{1-zq^n} = (1-z)^{-a} \]
이항정리의 한 부분을 볼 수 있다.
Corollary.(Euler)*
\[ \sum _{n=0} ^\infty \frac {z^n} {(q)_n} = \frac {1}{(z)_\infty}, \quad |z|<1 \]
q-이항정리 식에서 \(a=0\)을 대입하면 해결된다. 이 식이 가지는 의미는 어떤 수의 q-급수의 역수를 무한급수식으로 나타내었다는 것. q-series 카테고리에서 앞으로 다룰 정리들을 접근하는 방법이 된다.
\[\sum _{n=0} ^\infty \frac {(-z)^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}}{(q)_n } = (z)_\infty , \quad |z|<\infty \]
식 자체가 간단하게 증명되지는 않는다. q-이항정리 식에 \(a\) 에 \(\frac {a}{b} \), \(z\)에 \(bz\)를 넣자. 즉, \(|bz|<1 \)일 때 다음이 성립한다.
\[ \sum _{n=0} ^\infty \frac {(\frac {a}{b} )_n }{(q)_n} (bz)^n = \frac {(az)_\infty}{(bz)_\infty }\]
\[ \sum _{n=0} ^\infty \frac { (b-a)(b-aq)\cdots(b-aq^{n-1} ) }{(q)_n } z^n = \frac {(az)_\infty } { (bz)_\infty } \]
양변에 \( \lim _{b \rightarrow 0 } \)를 취하고 \(a=1\)을 대입하자. \(b\)에 대해 극한을 취할 때의 엄밀성은 여기서는 그냥 넘어가도록 하겠다.
\[ \sum _{n=0} ^\infty \frac { (-1)^n q^\frac { n(n-1) }{2} }{ (q)_n } z^n = (z)_\infty \]
중요한 점은 어떤 q-급수를 무한급수식으로 나타낼 수 있다는 점이다. 이 식은 나중에 야코비의 삼중곱 정리에서 중요하게 사용되므로 기억해두도록 하자.