Gaussian Coefficient, q-Binomial Coefficient
1. 정의
2. 조합
3. 성질
3.1. first q-analogue of Pascal's formula
3.2. second q-analogue of Pascal's formula
1. 정의
\(n\)과 \(m\)을 정수로 놓을 때
\[ {n \brack m} := \left\{ \begin{array} {ll} \frac {(q)_n}{(q)_m (q)_{n-m}},& \quad \text{if} \; 0 \le m \le n \\ 0,&\quad \text{otherwise} \end{array} \right. \]
2. 조합
형태가 조합, \(\binom{n}{m}\)과 비슷한데 실제로도 그렇다!
\[ \lim _{q \rightarrow 1} {n \brack m } = \binom {n}{m} \]
q-급수와 팩토리얼의 관계를 잘 이용하면 증명이 가능하다.
\(a=1\)을 대입했을 때 \[ \lim _{q \rightarrow 1} \frac {(q)_n } {(1-q)^n } = n! \]
\( 0 \le m \le n \)일 때
\[\lim _{q\rightarrow 1} {n \brack m} = \lim _{q \rightarrow 1} \frac {(q)_n} {(q)_m (q)_{n-m} } = \lim _{q \rightarrow 1} \frac {\frac{(q)_n}{(1-q)^n}}{ \frac{(q)_m}{(1-q)^m} \frac{(q)_{n-m}}{(1-q)^{n-m}} } = \frac {n!}{m!(n-m)!} = \binom {n}{m}\]
3. 성질
Gaussian coefficient와 ordinary binomial coefficient와 관련이 있는 만큼 비슷한 성질들이 많다.
3.1. first q-analogue of Pascal's formula
\[ {n \brack m} = {{n-1} \brack {m-1}} + q^m {{n-1} \brack m} \]
\[ {{n-1} \brack {m-1}} + q^m {{n-1} \brack m} = \frac {(q)_{n-1}} {(q)_{m-1} (q)_{n-m} } + q^m \frac {(q)_{n-1}} {(q)_m (q)_{n-m-1} } = \frac {(q)_n} {(q)_m (q)_{n-m}} \left( \frac {1-q^m} {1-q^n} + q^m \frac {1-q^{n-m}}{1-q^n} \right) = {n \brack m} \]
3.2. second q-analogue of Pascal's formula
\[ {n \brack m} = q^{n-m} {{n-1} \brack {m-1}} + {{n-1} \brack m} \]
\[ q^{n-m} {{n-1} \brack {m-1}} + {{n-1} \brack m} = q^{n-m}\frac {(q)_{n-1}} {(q)_{m-1} (q)_{n-m}} + \frac{(q)_{n-1}}{(q)_{m} (q)_{n-m-1}} = \frac {(q)_n}{(q)_m (q)_{n-m}} \left ( q^{n-m} \frac {1-q^m}{1-q^n} + \frac {1-q^{n-m}}{1-q^n} \right ) = {n \brack m}\]