q-series
1. 정의
\[ (a)_0 := (a;q)_0 := 1 , \quad (a)_n := (a,q)_n := \prod _{k=0} ^{n-1} (1-aq^k ), \qquad n \ge 1 \]
\[ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (a)_\infty := (a;q)_\infty := \prod _{k=0} ^{\infty} (1-aq^k ), \qquad |q|<1 \]
\[ (1-a)(1-aq) \cdots (1-aq^k ) \cdots \]
와 같은 형태이다. 이 급수를 잘 이용하면 몇몇 수론의 문제들을 쉽게 접근할 수 있다.
2. 예
3. 팩토리얼
\(a\) 대신 \(a>0 \)에 대해 \(q^a \)를 넣고, \(q\)가 1로 갈 때 로피탈의 정리를 쓰자.
\[ \lim _{q \rightarrow 1 } \frac {(q^a)_n}{(1-q)^n}= \lim _{q \rightarrow 1 } \frac{1-q^a}{1-q} \frac{1-q^{a+1}}{1-q} \cdots \frac{1-q^{a+n-1}} {1-q} \]
\[ = a(a+1)\cdots (a+n-1) \]
우변과 같은 형태를 rising factorial이라고 하며, 이것을 통해 q-series와의 관계가 있다는 것을 알 수 있다.