타원

ellipse

1. 정의

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평면 위의 점 두개(초점, foci)에 대해 일정한 거리의 합을 가지는 점들의 집합

2. 명칭

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꼭짓점(vertices) : 두 초점을 지나는 직선과 타원의 교점

장축(major axis) : 꼭짓점을 이을 때 생기는 현(chord)

중심(center) : 장축의 중점

단축(minor axis) : 장축을 수직이등분하는 현

3. 방정식

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평면에서 평행이동, 회전변환을 고려하지 않았을 때 타원의 두 초점을 (-p,0), (p,0), 임의의 타원 위의 점 (x,y)에 대해 일정한 거리의 합을 2a, (a>0)라고 놓으면

\[ \sqrt {(x+p)^2 + y^2} + \sqrt{(x-p)^2 +y^2 } = 2a\]

\[ (x+p)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a \sqrt{(x-p)^2 + y^2 } + (x-p)^2 + y^2 \]

\[ px = a^2 - a\sqrt{(x-p)^2 + y^2 } \]

\[ (x-p)^2 + y^2 = (a - \frac {px}{a} )^2 = a^2 - 2px + \frac {p^2 x^2} {a^2} \]

\[ x^2 + p^2 + y^2 = a^2 + \frac{p^2 x^2}{a^2} \]

\[ \frac {a^2 - p^2 }{a^2} x^2 +y^2 = a^2 - p^2 \]

\[ \text{Let} \; a^2 - p^2 = b^2 , \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

4. 원뿔곡선

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G.P.Dandelin의 타원의 원뿔곡선 증명 (https://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres)를 참조하자.

타원의 두 초점을 원뿔에 내접하는 구에 접한다고 잡고 증명해서 재미있다. 가끔 타원의 초점을 접근하는 하나의 좋은 방법이 되기도 한다!