포물선

parabola

1. 정의

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평면 위에서 어떤 고정된 선(준선, directrix)와 고정된 점(초점, focus)에 대해 거리가 같은 점들의 집합

2. 명칭

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꼭짓점(vertex) : 준선와 초점의 중점

축(axis) : 초점와 꼭짓점를 지나는 직선

회전변환을 고려하지 않을 때 대표적인 식으로는 \(x^2 = 4py \) , \(y^2 = 4px \) 정도가 있다.

3. standard equation

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회전변환과 평행이동을 고려하지 않을 때 평면 위에서 포물선의 방정식을 나타낼 것이다.

꼭짓점을 (0,0)으로 놓았을 때 평행이동은 나중에 시킬 수 있으므로 초점 (0,p) 준선은 y=-p로 놓자.(p>0) 포물선 위의 임의의 한 점을 (x,y)로 놓았을 때 거리를 비교하면

\[(y+p)^2 = x^2 + (y-p)^2 \\ x^2 = 4py\]

준선이 y축에 평행할 때는 아까의 경우를 점대칭시킨 경우이므로 \(y^2 = 4px\)이다.