쌍곡선함수

hyperbolic function

1. 개요

2. 정의

3. 항등식

1. 개요

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삼각함수들은 \(x^2 + y^2 = 1 \)을 만족하도록 적당히 \(x,y\)에 대응된 의미 있는 특별한 함수들이라고도 할 수 있다. 그래서 삼각함수를 원함수라고 부르기도 한다.

\[x^2 - y^2 = 1\]

이 식을 만족하는 함수도 생각해볼 수 있는데, 이걸 쌍곡선함수라고 부른다.

2. 정의

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\[ \begin{array}{lll} \sinh x = \frac {e^x - e^{-x}}{2} & \text{csch} \; x = \frac {1}{\sinh x} \\ \cosh x = \frac {e^x +e^{-x}}{2} & \text{sech} \; x = \frac {1}{\cosh x} \\ \tanh x = \frac {\sinh x }{\cosh x} & \coth x = \frac {\cosh x }{\sinh x} \end{array} \]

3. 항등식

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증명은 정의를 이용하면 쉽게 되므로 생략한다.

\[ \begin{array}{lll} \cosh ^2 x - \sinh ^2 x =1 \quad 1 - \tanh ^2 x \; \text{sech} ^2 x  \\ \sinh (x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\ \cosh (x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \end{array}\]